Можно ли исключить из школы ученика, не получившего основного общего образования?

Да, можно. Если ученик достиг возраста 15 лет и только по основаниям, предусмотренным ст.19 ФЗ от 29.12.2012 №273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации"»:
1) за совершение противоправных действий;
2) за грубые и неоднократные нарушения устава школы.
При этом в уставе школы должен содержаться исчерпывающий перечень нарушений, признающихся в данном образовательном учреждении грубыми, а под неоднократностью следует понимать совершение учеником двух и более нарушений. Все нарушения, признаваемые грубыми, должны быть установлены, зафиксированы, приказом учащийся совершивший их должен быть привлечен к дисциплинарной ответственности. 
Исключение из образовательного учреждения учащегося допускается как крайняя мера педагогического воздействия при соблюдении необходимой процедуры. Решение об исключении принимается органом управления школой (согласно уставу, например, это может быть Совет школы, Управляющий совет). Решение об исключении детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей (законных представителей), принимается с согласия органов опеки и попечительства. В трехдневный срок школа обязана проинформировать о принятом решении органы местного самоуправления. Органы местного самоуправления совместно с родителями (законными представителями) в месячный срок должны обеспечить трудоустройство или продолжение обучения в другом образовательном учреждении исключенного ученика.
Ученик, осужденный к условной мере наказания, не может быть исключен из школы на этом основании, поскольку основания для исключения, предусмотренные ст.19 ФЗ  от 29.12.2012 №273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации"», исчерпывающие и не подлежат расширительному толкованию.